\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\expect}[1]{\ensuremath{\langle #1 \rangle}}

\begin{document}
\section{对称与简并}
\footnote{参考：Griffiths 《量子力学导论》}
我们先前已经讨论了对称和守恒，现在我们讨论对称和简并。

\subsection{能量的简并态}
首先我们复习一下简并的含义。
对于能量算符而言，简并意味着有多个（线性无关的）本征波函数具有相同的能量，
或者说，能量算符的同一能量本征值对应多个（线性无关的）本征函数：
\begin{equation}
	\exists \ket{\Psi_i} ~\text{such that}~ \hat H \ket{\Psi_i} = E \ket{\Psi_i} \qquad i=1,2,3,...
\end{equation}
	
\subsection{对称与简并1：单一对称性}
在先前的笔记中我们论证了对称导致守恒。
接下来我们论证，对称还可能导致能量的简并。
假设我们的系统具有一种对称性$Q$，根据我们先前的知识，这种对称应该导致这样一种关系：
\begin{equation}
	[\hat H, \hat Q] = 0
\end{equation}
那么我们可以论证，两个波函数，$\ket{\Psi}$与$\ket{\Psi^{(2)}} = \hat Q \ket{\Psi}$，应该具有相同的能量。
证明如下：
\begin{itemize}
	\item 对于$\ket{\Psi}$，我们假定
	\begin{equation}
		\hat H \ket{\Psi} = E \ket{\Psi}
	\end{equation}
	\item 对于$\ket{\Psi^{(2)}}$，我们有
	\begin{equation}
		\hat H \ket{\Psi^{(2)}} = \hat H \hat Q \ket{\Psi} =  \hat Q \hat H \ket{\Psi} = \hat Q E \ket{\Psi} = E \hat Q \ket{\Psi} = E \ket{\Psi^{(2)}}
	\end{equation}
\end{itemize}
因此这两个波函数的能量相同，证毕。

然而，正如G书所说，上述的论证忽略了重要的一点：
虽然$\ket{\Psi}$与$\ket{\Psi^{(2)}}$的能量相同，但没有排除$\ket{\Psi}$与$\ket{\Psi^{(2)}}$是\textsl{同一个}波函数（$\ket{\Psi} = \ket{\Psi^{(2)}}$）的可能。
也就是说，单一的对称性仍可能不足以导致能量简并。

\subsection{对称与简并2：双对称性}
我们拓展上一节的思路，现在我们假定系统具有两种对称性，且这两种对称性对应的算符并不互易：
\begin{equation}
	[\hat H, \hat Q_1] = 0 \qquad [\hat H, \hat Q_2] = 0 \qquad [\hat Q_1, \hat Q_2] \ne 0 
\end{equation}
现在，我们假设有三个波函数$\ket{\Psi}, \ket{\Psi^{(1)}} = \hat Q_1 \ket{\Psi}, \ket{\Psi^{(2)}} = \hat Q_2 \ket{\Psi}$。
显然，$\ket{\Psi}, \ket{\Psi^{(1)}}, \ket{\Psi^{(2)}}$将具有相同的能量，证明过程同上；
而重点是证明$\ket{\Psi^{(1)}}$与$\ket{\Psi^{(2)}}$不会是同一个波函数，
即不存在一个$\ket{\Psi^{(0)}}$同时是$\hat Q_1$与$\hat Q_2$的本征函数。
这可以使用反证法证明：假设存在一个$\ket{\Psi^{(0)}}$同时是$\hat Q_1$与$\hat Q_2$的本征函数。
那么
$$
\hat Q_1 \ket{\Psi^{(0)}} = q_1 \ket{\Psi^{(0)}}
\qquad
\hat Q_2 \ket{\Psi^{(0)}} = q_2 \ket{\Psi^{(0)}}
$$
对前一式两侧运用$\hat Q_2$，得到
$$
\hat Q_2 \hat Q_1 \ket{\Psi^{(0)}} = q_1 \hat Q_2 \ket{\Psi^{(0)}} = q_1 q_2 \ket{\Psi^{(0)}}
$$
同理
$$
\hat Q_1 \hat Q_2 \ket{\Psi^{(0)}} = q_2 \hat Q_1 \ket{\Psi^{(0)}} = q_1 q_2 \ket{\Psi^{(0)}}
$$
因此
$$
\hat Q_1 \hat Q_2 \ket{\Psi^{(0)}} - \hat Q_2 \hat Q_1 \ket{\Psi^{(0)}} = 0
\Rightarrow
[\hat Q_1, \hat Q_2] = 0
$$
与题设矛盾，因此这样的$\ket{\Psi^{(0)}}$不能存在，证毕。

总结上述分析，我们发现当系统具有两种不互易的对称性的情况下，系统的能量应该是存在简并的。

\end{document}
